[선형대수학] 역행렬, 역행렬 변환, 존재유무-쌩초보 눈높이 설명

본인 쌩초보라 아는데 이렇게 이해하면 바로 그냥 머릿속에 박힘

정사각형 행렬 기준으로 하고 있슴니다

 

기본 지식

가우스 소거법-행렬의 열을 곱하고 더하고 해서 단위행렬로 만드는 작업

단위행렬-대각선만 1이고 나머지 0인 행렬

랭크-행렬을 가우스 소거해서 나온 행렬에서 행 기준으로 0이 아닌 수가 하나라도 있으면 +1랭크임

 

역행렬이란?

행렬이랑 행렬곱하면 단위행렬이 나오는 어떤 행렬

역행렬이 존재한다면, 어떤 행렬에 대한 역행렬은 무조건 하나밖에 없음

 

보통 아래처럼 구할텐데 2x2행렬은 특이한 경우라 공식이 있음

일단은 3x3이상 크기의 행렬부터 시작

 

역행렬이 존재하는지 어떻게 앎?

가우스 소거한 행렬에서 랭크를 셈

랭크가 원래 행렬의 사이즈 미만이면 존재하지 않고, 같거나 크면 존재함

뭔소린지 몰라도ㄱㅊ아래서 역행렬 구한 뒤에 자세한 설명있음

 

역행렬 어떻게 구함?

1. 역행렬이 있는 행렬 하나가 있다

 

2. 행렬에 단위행렬 붙임

3. 이제 저 행렬을 지지고 볶아서 단위행렬로 만들 건데 그냥 막하면 산으로 갈 거임

근데 이런 방식으로 하면 ㄹㅇ명쾌하다

일단 대각선 기준으로 아래를 0으로 만든다고 생각함

그림 기준으로는 1, -6, 2를 먼저 0으로 바꿔줄거임

 

2행 1열의 1을 없애려면 1행을 빼면 되겠지?

2행-1행한 결과

 

4. -6을 없애기 위해 3행+1행*6

참고로 곱한다고 원래 행이 바뀌지 않음

5. -4를 없애기 위해 2행*4+3행

그러면 3행 3열이 -1이 나오는데, 1로 만들어주려고 -1도 바로 곱했음

 

6. 그럼 이제 대각선은 다 1되고 그 아래는 다 0이 되면서 좀 이뻐짐

이제 3행의 0 0 1로 1, 2행도 마무리 해줄거임(이 이유로 3행부터 단위행렬을 맞춰줌)

 

2행 3열의 -1을 없애기 위해 2행+3행

7. 1행 2열의 -1을 없애기 위해 1행+2행

8. 끝

오른쪽 3x3행렬이 아까 행렬의 역행렬이다

증명하고 싶으면 원래 행렬과 역행렬 곱해서 단위행렬이 나오면 완벽

 

 

역행렬이 존재하는 행렬인가?

 

이 행렬의 역행렬이 존재할까?

일단 가우스 소거를 하자

중간 과정을 생략했지만 위에서 역행렬 만들 때 했던 것처럼

왼쪽 ㄴ자 3개를 0으로 만들어주기 위해 2행 1열, 3행 1열을 0으로 먼저 만들었고,

2행+3행으로 3행 2열 7도 없앴는데

없애고 보니 3행이 전부 0이 됨

 

아까 랭크라는 건 '한 행에서 0이 아닌 수가 하나라도 있으면 +1랭크'라고 했는데

3행은 0 0 0이라 0밖에 없어서 +1랭크가 아님

그래서 저 행렬고 2랭크가 되고

행렬의 사이즈 3보다 작으므로 역행렬 없음

 

역행렬이 존재하는 행렬인가? - 2

 

그럼 이 행렬은 역행렬이 존재할까?

이 행렬도 가우스 소거를 하면 0 0 0인 행렬이 나오므로 역행렬이 존재하지 않다

 

 

2x2행렬의 역행렬

행렬이 2x2형태일 땐 이런 방법이 가능

이렇게 숫자가 있다고 치면

일단 전제는 a나 c가 둘 다 0이 아니어야 함(한 개만 0인 건 가능)

왜냐면 a랑 c가 다 0이면 무조건 0이 되어서 성립되지 않기 때문

 

1. ad-bc가 0이 아님: 역행렬 있음

이 공식으로 뚝딱 구할 수 있음

 

예)

왼쪽 행렬의 역행렬은 오른쪽 행렬임

 

 

2. ad-bc가 0임: 역행렬 없음

예)

3*2-(-1*-6)=0이라서 역행렬 없음

 

 

2x2는 왜 이런 공식이 가능함?

길어서 글로 첨부함

a b c d를 넣어서 3x3이상 크기 하는 방법으로 직접 계산해보면 바로 나옴

 

 

 

역행렬의 쌩기초 이해 완료