nxn 행렬 A와 B가 정칙행렬일 때의 역행렬 정리들 증명

$n\times n$ 행렬 $A$ 와 $B$ 가 정칙행렬(가역행렬)일 때 다음이 성립한다

1) $A^{-1}$은 정칙행렬이며, $(A^{-1}{)}^{-1}=A$ 이다

2) $AB$는 정칙행렬이며, $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$ 이다

 

1) 증명

행렬 A가 정칙이므로 역행렬이 존재한다

$A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$ 이므로 $A^{-1}$ 의 역행렬은 $A$ 이다

 

즉, $A^{-1}$ 은 정칙행렬이며, $(A^{-1}{)}^{-1}=A$ 이다

 

2) 증명

$AB$의 역행렬이 $B^{-1}{A}^{-1}$ 임을 증명하면 된다

 

$(AB)(B^{-1}{A}^{-1})=A(B{B}^{-1})A^{-1}=AI{A}^{-1}=A{A}^{-1}=I$ 이다

마찬가지로, $(B^{-1}{A}^{-1})(AB)=I$ 이다

따라서, $B^{-1}{A}^{-1}$ 는 $AB$의 역행렬이다

 

즉, $AB$는 정칙행렬이며, $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$ 이다